1 Tabelle di Contingenza

Una tabella di contingenza riassume la distribuzione congiunta di due variabili qualitative, riportando le frequenze (assolute o relative) per ciascuna combinazione di modalità. Le righe corrispondono alle modalità di una variabile (\(X\)), le colonne alle modalità dell’altra (\(Y\)).

1.1 Il Dataset: Melanoma Maligno

I dati riguardano una ricerca sulla diffusione del melanoma maligno rispetto al tipo di tumore (\(X\)) e al luogo di insediamento (\(Y\)):

Variabile	Modalità
\(X\) — Tipo di tumore	efelidi melanotiche, melanoma sparso, nodulare, indeterminato
\(Y\) — Luogo di insediamento	testa e collo, tronco, estremità

1.2 Lettura Dati

Leggiamo il file tumore.dat. I dati sono già riportati in forma di tabella di contingenza.

💡 Per utilizzare le funzioni per le tabelle il data frame deve essere convertito in matrice

tumore <- read.table("tumore.dat",
                     header = TRUE, 
                     row.names = 1, 
                     sep = "&") 
m_tumore <- as.matrix(tumore)

2 Distribuzione Congiunta

La distribuzione congiunta di \((X, Y)\) descrive la frequenza (assoluta o relativa) di ogni coppia di modalità \((i, j)\). In R, possiamo visualizzare

le frequenze assolute usando table() (ma in questo caso sono già letti in forma tabellare)
le frequenze relative usando prop.table() applicata a una tabella

2.1 Frequenze Assolute

\(n\) = numero di unità statistiche
\(n_{jk}\): frequenza di osservazioni con \(X=j\) e \(Y=k\), ovvero \(n_{jk} = \text{card}\{l \in (1, \ldots, n): X = j, Y = k\}\)
\(n = \sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K} n_{jk}\) \[ \begin{array}{c|cccc|c} X/Y & 1 & 2 & \cdots & K \\ \hline 1 & n_{11} & n_{12} & \cdots & n_{1K} \\ 2 & n_{21} & n_{22} & \cdots & n_{2K} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ J & n_{J1} & n_{J2} & \cdots & n_{JK} \\ \hline \end{array} \]

m_tumore

#>                      testa.collo tronco estremita
#>    efelidi.melanot.           22      2        10
#>    melanoma.sparso            16     54       115
#>    nodulare                   19     33        73
#>    indeterminato              11     17        28

2.2 Frequenze Relative

\(f_{jk} = n_{jk}/n\)
\(\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K} f_{jk} = 1\) \[ \begin{array}{c|cccc|c} X/Y & 1 & 2 & \cdots & K \\ \hline 1 & f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1K} \\ 2 & f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2K} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ J & f_{J1} & f_{J2} & \cdots & f_{JK} \\ \hline \end{array} \]

freq_rel <- prop.table(m_tumore)
round(freq_rel * 100, 2)

#>                      testa.collo tronco estremita
#>    efelidi.melanot.         5.50   0.50      2.50
#>    melanoma.sparso          4.00  13.50     28.75
#>    nodulare                 4.75   8.25     18.25
#>    indeterminato            2.75   4.25      7.00

3 Distribuzioni Marginali

Le distribuzioni marginali si ottengono sommando le frequenze lungo una dimensione della tabella. In formule,

\(n_{j\cdot} = \sum_{k=1}^{K} n_{jk}\) e \(n_{\cdot k} = \sum_{j=1}^{J} n_{jk}\)
\(\sum_{j=1}^{J}n_{j\cdot} = n\) e \(\sum_{k=1}^{K}n_{\cdot k} = n\)

\[ \begin{array}{c|cccc|c} & 1 & 2 & \cdots & K & \text{Totale} \\ \hline 1 & n_{11} & n_{12} & \cdots & n_{1K} & n_{1\cdot} \\ 2 & n_{21} & n_{22} & \cdots & n_{2K} & n_{2\cdot} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ J & n_{J1} & n_{J2} & \cdots & n_{JK} & n_{J\cdot} \\ \hline \text{Totale} & n_{\cdot 1} & n_{\cdot 2} & \cdots & n_{\cdot K} & n \end{array} \]

Da cui possiamo ottenere le frequenze relative marginali di riga e colonna

\(f_{j\cdot} = n_{j\cdot}/n\) e \(f_{\cdot k} = n_{\cdot k}/n\)
\(\sum_{j=1}^{J}f_{j\cdot} = 1\) e \(\sum_{k=1}^{K}f_{\cdot k} = 1\)

3.1 Marginali Assolute e Relative

In R, otteniamo con margin.table(m, 1) somma per riga (distribuzione di \(X\)), mentre con margin.table(m, 2) somma per colonna (distribuzione di \(Y\)). Le frequenze relative si ottengono utilizzando prop.table() alle frequenze assolute marginali.

# Marginale di X (tipo di tumore) — somma per riga
margine_riga_ass <- margin.table(m_tumore, 1)
margine_riga_ass

#>    efelidi.melanot.     melanoma.sparso      nodulare          
#>                   34                  185                  125 
#>    indeterminato     
#>                   56

margine_riga_rel <- prop.table(margine_riga_ass)
round(margine_riga_rel * 100, 1)

#>    efelidi.melanot.     melanoma.sparso      nodulare          
#>                  8.5                 46.2                 31.2 
#>    indeterminato     
#>                 14.0

# Marginale di Y (luogo di insediamento) — somma per colonna
margine_colonna_ass <- margin.table(m_tumore, 2)
margine_colonna_ass

#> testa.collo      tronco   estremita 
#>          68         106         226

margine_colonna_rel <- prop.table(margine_colonna_ass)
round(margine_colonna_rel * 100, 1)

#> testa.collo      tronco   estremita 
#>        17.0        26.5        56.5

3.2 Grafico delle Distribuzioni Marginali

Utilizziamo il grafico a barre, barplot() per reppresentare le frequenze relative marginali (di riga: tipo di tumore; e di colonna: luogo di insediamento).

par(mfrow = c(2, 1))
barplot(margine_riga_rel,   ylim = c(0, 1),
        main = "Tipo di tumore (X)",
        ylab = "Frequenza relativa",
        col = c("#D4A574", "#8B3A3A", "#5B4A72", "#6B8E8E"))
abline(h = 0)
barplot(margine_colonna_rel, ylim = c(0, 1),
        main = "Luogo di insediamento (Y)",
        ylab = "Frequenza relativa",
        col = c("#4A7FA5", "#6AAF8B", "#C47E5A"))
abline(h = 0)

par(mfrow = c(1, 1))

💡 Il comando par() serve per settare alcuni parametri della finestra grafica: in questo caso l’argomento mfrow = c(2,1) divide la finestra grafica in due colonne e una riga.

4 Distribuzioni Condizionate: Profili Riga

Uno studio completo di due variabili qualitative richiede di esaminare il comportamento di una variabile all’interno dei gruppi definiti dall’altra. A questo scopo si relativizzano le frequenze congiunte rispetto al totale di riga.

La frequenza relativa di \(Y = k\) condizionata a \(X = j\) è:

\[f_{k|j} = \frac{n_{jk}}{n_{j\cdot}} = \frac{f_{jk}}{f_{j\cdot}}\]

L’insieme di queste frequenze al variare di \(k\) costituisce il profilo riga della categoria \(j\).

💡 La distribuzione marginale è anche chiamata profilo medio dell’intera popolazione.

4.1 Calcolo dei Profili Riga

Al fine di calcolare i profili riga si usa il comando prop.table() utilizzando come aromento margin = 1.

profili_riga <- prop.table(m_tumore, margin = 1)  # relativizza per riga
rbind(round(profili_riga * 100, 1),
      round(margine_colonna_rel * 100, 1))

#>                      testa.collo tronco estremita
#>    efelidi.melanot.         64.7    5.9      29.4
#>    melanoma.sparso           8.6   29.2      62.2
#>    nodulare                 15.2   26.4      58.4
#>    indeterminato            19.6   30.4      50.0
#>                             17.0   26.5      56.5

📌 Confrontiamo ad esempio gli insediamenti in testa e collo: il tipo “efelidi melanotiche” presenta il 64.7% degli insediamenti in questa zona, contro il 17% della distribuzione marginale complessiva. Il tipo “melanoma sparso” invece si insedia prevalentemente alle estremità (62.2%).

4.2 Grafico dei Profili Riga

Per confrontare i profili riga graficamente possiamo procedere nei seguenti modi.

4.2.1 Barplot affiancati

Riportiamo le distribuzioni di luogo di insediamento condizionate al tipo di tumore mediante barplot affiancati. In questo caso è importante mantenere la stessa scala sull’asse delle ordinate (ylim = c(0,1)), altrimenti le differenze visive risultano fuorvianti.

par(mfrow = c(2, 3))

for (i in 1:nrow(profili_riga)) {
  barplot(profili_riga[i, ],
          ylim = c(0, 1),
          main = rownames(profili_riga)[i],
          ylab = "Frequenza relativa",
           col = c("#4A7FA5", "#6AAF8B", "#C47E5A"))
  abline(h = 0)
}

# Profilo marginale (totale) come riferimento
barplot(margine_colonna_rel,
        ylim = c(0, 1),
        main = "Totale (profilo medio)",
        ylab = "Frequenza relativa",
         col = c("#4A7FA5", "#6AAF8B", "#C47E5A"))
abline(h = 0)

par(mfrow = c(1, 1))

📌 Si osserva chiaramente che la distribuzione del luogo di insediamento per il tipo “efelidi melanotiche” è significativamente diversa da quelle degli altri tre tipi e dal profilo medio complessivo: oltre il 60% degli insediamenti avviene in testa e collo, contro il 17% del totale.

4.2.2 Barplot impilati

mat <- rbind(profili_riga, Totale = margine_colonna_rel)

barplot(t(mat),
        beside = F,
        col = c("#4A7FA5", "#6AAF8B", "#C47E5A"),
        ylim = c(0,1.3),
        ylab = "Frequenza relativa",
        main = "Profili riga e  marginale (di colonna)",
        cex.names = 0.5,
        legend.text = colnames(mat))

📌 Le informazioni lette mediante barplot affiancati sono di più facile lettura mediante barplot impilati, ovvero è chiaro che la distribuzione del luogo di insediamento per il tipo “efelidi melanotiche” differisce da quelle degli altri tre tipi e dal profilo medio complessivo.

4.2.3 Deviazioni dei Profili Riga dal Profilo Medio

Per evidenziare quanto ogni profilo riga si discosti dalla distribuzione marginale si calcolano le deviazioni:

\[\left(f_{1|j} - f_{\cdot 1},\; f_{2|j} - f_{\cdot 2},\; \ldots,\; f_{K|j} - f_{\cdot K}\right)\]

# Costruiamo una matrice con il profilo marginale replicato per ogni riga
tab_margine_colonna_rel <- matrix(
  rep(margine_colonna_rel, nrow(m_tumore)),
  byrow  = TRUE,
  ncol   = ncol(m_tumore)
)

deviazioni_riga <- profili_riga - tab_margine_colonna_rel
round(deviazioni_riga * 100, 1)

#>                      testa.collo tronco estremita
#>    efelidi.melanot.         47.7  -20.6     -27.1
#>    melanoma.sparso          -8.4    2.7       5.7
#>    nodulare                 -1.8   -0.1       1.9
#>    indeterminato             2.6    3.9      -6.5

Quindi rappresentiamo le deviazioni mediante barplot affiancati (uno per ogni modalità di tipo di tumore)

yl <- c(min(deviazioni_riga), max(deviazioni_riga))

par(mfrow = c(2, 2), oma = c(0, 0, 2, 0))

for (i in 1:nrow(profili_riga)) {
  barplot(deviazioni_riga[i, ],
          ylim  = yl,
          main  = rownames(profili_riga)[i],
          ylab  = "Deviazione",
        col = c("#4A7FA5", "#6AAF8B", "#C47E5A"))
  abline(h = 0)
}

par(mfrow = c(1, 1))

📌 Le deviazioni confermano e rendono ancora più evidente quanto già osservato nei profili riga:

Efelidi melanotiche: fortissima sovra-rappresentazione in testa e collo (+47.7%) e sotto-rappresentazione in tronco e estremità

Melanoma sparso: sotto-rappresentazione in testa e collo (-8.4%), sovra-rappresentazione alle estremità (+5.7%)

Nodulare e indeterminato: deviazioni contenute, vicini al profilo medio

5 Esercizio

Si continui l’analisi considerando le le frequenza relativa di \(X = j\) condizionata a \(Y = k\) è:

\[f_{j|k} = \frac{n_{jk}}{n_{\cdot k}} = \frac{f_{jk}}{f_{\cdot k}}\]

L’insieme di queste frequenze al variare di \(j\) costituisce il profilo colonna della categoria \(k\). Quindi le deviazioni dei Profili Colonna dal Profilo Medio (di riga) sono

\[\left(f_{1|k} - f_{\cdot 1},\; f_{2|k} - f_{\cdot 2},\; \ldots,\; f_{J|k} - f_{\cdot k}\right)\]

Si riportano le analisi numeriche e grafiche rilevanti per descrivere la distribuzione del tipo di tumore per luogo di insediamento. Si commentino i risultati.

6 Riepilogo

6.1 Regole d’oro sulle Tabelle di Contingenza

table() frequnze assolute congiunte
prop.table(m) → frequenze relative congiunte (diviso per il totale)
prop.table(m, margin = 1) → profili riga (ogni riga somma a 1)
prop.table(m, margin = 2) → profili colonna (ogni colonna somma a 1)
margin.table(m, 1) → marginale di riga; margin.table(m, 2) → marginale di colonna

6.2 Cheatsheet Rapida

# CREAZIONE MATRICE DA DATI
m <- as.matrix(df)      # se df è in forma tabellare

# FREQUENZE
prop.table(m)           # relative congiunte
prop.table(m, 1)        # profili riga
prop.table(m, 2)        # profili colonna
margin.table(m, 1)      # marginale di riga (assoluta)
margin.table(m, 2)      # marginale di colonna (assoluta)

# GRAFICI
barplot(x, ylim = c(0,1), main = "...", ylab = "...")
abline(h = y0) # linea orizzontale
abline(v = x0) # linea verticale 

# LAYOUT
par(mfrow = c(r, c))          # griglia r × c di grafici
par(mfrow = c(1,1))           # ripristina layout singolo

Introduzione a R

Tabelle di Contingenza e Distribuzioni Condizionate

Gioia Di Credico, Vincenzo Gioia, Sara Trabucco

2026-03-31